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首頁 » 分析方法 » 廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)

廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model, GARCH model
GARCH為時間數列分析中常見的方法,最早由美國經濟學家恩格爾(Robert Fry Engle III, 1942-)於1982年之計量經濟期刊Econometrica提出ARCH模式,討論時間數列資料中的變異數會受時間影響而變化,即時間數列模式中有非常數的變異數。隨後他的學生Bollerslev於1986年加以推廣為GARCH模式,陸續有許多學者將此模式加以推廣,如Nelson(1991)的EGARCH及Tsay(1987)的CHARMA模式,此系列模式可說是計量經濟與時間數列領域中廣受專家學者使用的方法。
此模式處理的資料仍為具有時間的相依性(依變數),主要對象為當資料具群聚(clustering)現象時經配適模式後其殘差具異質變異。高頻率資料,常有此現象產生。當資料無異質變異時,建議改以 整合移動平均自我迴歸模式(autoregressive integrated moving average model, ARIMA)分析資料的趨勢即可。

本方法使用之R相關套件與參考文獻:
相關套件:stats、base、rugarch、forecast、nortest、FinTS
參考文獻:(依套件名稱排序)
  1. R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL: http://www.R-project.org/.
  2. Alexios Ghalanos (2014). rugarch: Univariate GARCH models. R package version 1.3-1.
  3. Rob J Hyndman with contributions from George Athanasopoulos, Slava Razbash, Drew Schmidt, Zhenyu Zhou, Yousaf Khan, Christoph Bergmeir and Earo Wang (2014). forecast: Forecasting functions for time series and linear models. R package version 5.0. URL:http://CRAN.R-project.org/package=forecast
  4. Juergen Gross and bug fixes by Uwe Ligges (2012). nortest: Tests for Normality. R package version 1.0-2. URL:http://CRAN.R-project.org/package=nortest
  5. Spencer Graves (2012). FinTS: Companion to Tsay (2005) Analysis of Financial Time Series. R package version 0.4-4. URL:http://CRAN.R-project.org/package=FinTS
範例F-2:

股票市場至今已有四百年歷史,從最早的集資與資金及利息運作, 到現在各種類型的股票市場交易,錯縱複雜且利益龐大,並牽涉到國與國之間的經濟問題。國家股市的繁榮間接表現出該國經濟的發展。同時,經濟規模較小的國家針對經濟規模龐大的國家常有經濟依賴現象,造成不同國家股市的指數相互影響。 亞洲某國家的經濟研究員想要了解股票市場的指數走向的影響因素,收集了自2009年至2011年的該國家股市的股價指數, 並收集同時間美國市場的股價指數,資料列於下表中,因不同國家間有時差及節日的差異性,故下表資料已經過處理,剔除非同時存在的資料, 處理後的資料共有2164筆。

時間(年/月/日) 2009/01/02 2009/01/03 ... 2011/12/21
亞洲某市場股價指數 459.27 459.11 ... 957.59
美國市場股價指數 751.96 743.58 ... 1575.93

Q1:研究員想了解該國市場股價指數的變異是否有異質效應?是否具異質變異?
問題解析:主要變數”市場股價指數”為與時間有相關的資料,適合時間數列分析。
統計方法:問題中的主要變數為市場股價指數。討論資料是否具異質變異,可採用的分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)。
廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果
  • 分析方法:廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
  • 資料名稱:範例F-2
  • 依變數名稱:NIKKEI
  • 變數轉換:對數報酬轉換
  • 模式配適:
    • ARMA趨勢:(0, d, 0)
    • GARCH趨勢:(1, 1), 誤差分配 =norm

  • 資料預測:保留最後10筆資料
  • 計算時間:6.866秒

  • 基本訊息:
    • 敘述統計量:
      變數名稱
      variable
      個數
      count
      平均數
      mean
      標準差
      Std. err.
      偏態係數
      skewness
      峰態係數
      kurtosis
      NIKKEI21494e-040.0119-0.01852.986
    • 時間數列圖:
    • ACF圖:
    • PACF圖:
    • 自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      卡方檢定統計量I
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p值
      p-value
      193.2081 12 < 1e-04
      I:ARCH-LM檢定

  • 模式配適:
    • 模式係數估計:
      係數I,II
      coefficient
      估計值
      estimation
      標準差
      Std. err.
      t-統計量
      t-value
      p-值
      p-value
      INTERCEPT8e-042e-044.0874< 1e-04
      ARFIMA02e-040.00380.997

      ALPHA0002.56430.0103
      ALPHA10.08130.01117.3234< 1e-04
      BETA10.91770.01183.3049< 1e-04
      I:ARFIMA係指分數差分係數
      II:ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數,其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數 按此看說明
    • 模式配適訊息:
      AICI -6.245
      BICII -6.2318
      Shibata -6.245
      HQIII -6.2402
      Log likelihood 6715.2458
      I:Akaike Information Criterion
      II:Bayesian Tnformation Criterion
      III:Hannan-Quinn Criterion

  • 殘差分析:
    • 殘差時間數列圖:
    • 殘差常態機率分布(Q-Q)圖:
    • 殘差ACF圖:
    • 殘差PACF圖:
    • 殘差資料序列相關(serial correlation)檢定:
      標準化殘差:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]1.0680.30149
      Lag[p+q+1][1]1.0680.30149
      Lag[p+q+5][5]11.0530.05034
      I:Ljung-Box test with 0 d.f.

      標準化殘差平方:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]0.085080.77053
      Lag[p+q+1][3]3.303340.06914
      Lag[p+q+5][7]3.674160.59721
      I:Ljung-Box test with 2 d.f.

    • 殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      階數
      order
      卡方檢定統計量
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p-值
      p-value
      Lag[2]3.21820.2001
      Lag[5]3.44550.6318
      Lag[10]4.049100.9451

  • 資料預測:
    • 預測值資料表:
      資料筆數真實值預測值絕對誤差百分比%I
      2150-0.01778e-04104.4707
      21510.01218e-0493.4683
      21520.02618e-0496.9628
      2153-0.00518e-04115.7015
      21540.00278e-0471.0338
      21550.00128e-0435.4545
      2156-0.00198e-04142.5578
      2157-0.0148e-04105.6638
      21580.00658e-0487.7121
      2159-0.00388e-04121.077
      I:絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %
    • 平均絕對誤差百分比%(MAPE):97.41%
    • 預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值):
[重新分析]
範例F-2:

股票市場至今已有四百年歷史,從最早的集資與資金及利息運作, 到現在各種類型的股票市場交易,錯縱複雜且利益龐大,並牽涉到國與國之間的經濟問題。國家股市的繁榮間接表現出該國經濟的發展。同時,經濟規模較小的國家針對經濟規模龐大的國家常有經濟依賴現象,造成不同國家股市的指數相互影響。 亞洲某國家的經濟研究員想要了解股票市場的指數走向的影響因素,收集了自2009年至2011年的該國家股市的股價指數, 並收集同時間美國市場的股價指數,資料列於下表中,因不同國家間有時差及節日的差異性,故下表資料已經過處理,剔除非同時存在的資料, 處理後的資料共有2164筆。

時間(年/月/日) 2009/01/02 2009/01/03 ... 2011/12/21
亞洲某市場股價指數 459.27 459.11 ... 957.59
美國市場股價指數 751.96 743.58 ... 1575.93

Q2:研究員想了解該國市場股價指數除了具有群集效應及/或異質變異問題外,是否也會受前期指數影響呢?
問題解析:討論的變數市場股價指數為與時間相關的資料,適合時間數列分析。
統計方法:可採用的分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH);在此模式中可於均數方程式(mean equation)中配適P階自我迴歸(ARP)。
廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果
  • 分析方法:廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
  • 資料名稱:範例F-2
  • 依變數名稱:NIKKEI
  • 變數轉換:對數報酬轉換
  • 模式配適:
    • ARMA趨勢:(1, d, 0)
    • GARCH趨勢:(1, 1), 誤差分配 =norm

  • 資料預測:保留最後10筆資料
  • 計算時間:8.512秒

  • 基本訊息:
    • 敘述統計量:
      變數名稱
      variable
      個數
      count
      平均數
      mean
      標準差
      Std. err.
      偏態係數
      skewness
      峰態係數
      kurtosis
      NIKKEI21494e-040.0119-0.01852.986
    • 時間數列圖:
    • ACF圖:
    • PACF圖:
    • 自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      卡方檢定統計量I
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p值
      p-value
      193.2081 12 < 1e-04
      I:ARCH-LM檢定

  • 模式配適:
    • 模式係數估計:
      係數I,II
      coefficient
      估計值
      estimation
      標準差
      Std. err.
      t-統計量
      t-value
      p-值
      p-value
      INTERCEPT8e-042e-044.02151e-04
      AR10.02160.0230.93970.3474
      ARFIMA03e-047e-040.9995

      ALPHA0002.56510.0103
      ALPHA10.08180.01127.3061< 1e-04
      BETA10.91720.011182.5746< 1e-04
      I:ARFIMA係指分數差分係數
      II:ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數,其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數 按此看說明
    • 模式配適訊息:
      AICI -6.2445
      BICII -6.2286
      Shibata -6.2445
      HQIII -6.2387
      Log likelihood 6715.6895
      I:Akaike Information Criterion
      II:Bayesian Tnformation Criterion
      III:Hannan-Quinn Criterion

  • 殘差分析:
    • 殘差時間數列圖:
    • 殘差常態機率分布(Q-Q)圖:
    • 殘差ACF圖:
    • 殘差PACF圖:
    • 殘差資料序列相關(serial correlation)檢定:
      標準化殘差:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]0.015270.9016
      Lag[p+q+1][2]0.027530.8682
      Lag[p+q+5][6]10.183520.0702
      I:Ljung-Box test with 1 d.f.

      標準化殘差平方:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]0.028670.86554
      Lag[p+q+1][3]3.113010.07767
      Lag[p+q+5][7]3.454800.63024
      I:Ljung-Box test with 2 d.f.

    • 殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      階數
      order
      卡方檢定統計量
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p-值
      p-value
      Lag[2]3.04420.2183
      Lag[5]3.26450.6594
      Lag[10]3.865100.9532

  • 資料預測:
    • 預測值資料表:
      資料筆數真實值預測值絕對誤差百分比%I
      2150-0.01777e-04103.6867
      21510.01218e-0493.4706
      21520.02618e-0496.9524
      2153-0.00518e-04115.7566
      21540.00278e-0470.9321
      21550.00128e-0435.2278
      2156-0.00198e-04142.7073
      2157-0.0148e-04105.6837
      21580.00658e-0487.669
      2159-0.00388e-04121.151
      I:絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %
    • 平均絕對誤差百分比%(MAPE):97.32%
    • 預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值):
[重新分析]
範例F-2:

股票市場至今已有四百年歷史,從最早的集資與資金及利息運作, 到現在各種類型的股票市場交易,錯縱複雜且利益龐大,並牽涉到國與國之間的經濟問題。國家股市的繁榮間接表現出該國經濟的發展。同時,經濟規模較小的國家針對經濟規模龐大的國家常有經濟依賴現象,造成不同國家股市的指數相互影響。 亞洲某國家的經濟研究員想要了解股票市場的指數走向的影響因素,收集了自2009年至2011年的該國家股市的股價指數, 並收集同時間美國市場的股價指數,資料列於下表中,因不同國家間有時差及節日的差異性,故下表資料已經過處理,剔除非同時存在的資料, 處理後的資料共有2164筆。

時間(年/月/日) 2009/01/02 2009/01/03 ... 2011/12/21
亞洲某市場股價指數 459.27 459.11 ... 957.59
美國市場股價指數 751.96 743.58 ... 1575.93

Q3:問題中的市場股價指數是否也受美國市場股價指數的影響?
問題解析:變數”市場股價指數”為與時間相關的資料,適合時間數列分析。
統計方法:可採用分析方法為廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH);於均數方程式(mean equation)中配適P階自我迴歸(ARP)以及迴歸自變數(美國市場股價指數)。
廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH) - 分析結果
  • 分析方法:廣義自我迴歸條件異質變異模式(GARCH)
  • 資料名稱:範例F-2
  • 依變數名稱:NIKKEI
  • 自變數名稱:SP500
  • 變數轉換:對數報酬轉換
  • 模式配適:
    • ARMA趨勢:(1, d, 0)
    • GARCH趨勢:(1, 1), 誤差分配 =norm

  • 資料預測:保留最後10筆資料
  • 計算時間:11.278秒

  • 基本訊息:
    • 敘述統計量:
      變數名稱
      variable
      個數
      count
      平均數
      mean
      標準差
      Std. err.
      偏態係數
      skewness
      峰態係數
      kurtosis
      NIKKEI21494e-040.0119-0.01852.986
      SP50021495e-040.01910.18183.9489
    • 時間數列圖:
    • ACF圖:
    • PACF圖:
    • 自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      卡方檢定統計量I
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p值
      p-value
      193.2081 12 < 1e-04
      I:ARCH-LM檢定

  • 模式配適:
    • 模式係數估計:
      係數I,II
      coefficient
      估計值
      estimation
      標準差
      Std. err.
      t-統計量
      t-value
      p-值
      p-value
      INTERCEPT2e-041e-041.4430.149
      AR10.02240.02280.9840.3251
      ARFIMA00.00111e-040.9999
      SP5000.52380.009455.765< 1e-04

      ALPHA0003.06330.0022
      ALPHA10.06810.01056.5009< 1e-04
      BETA10.91750.01370.7018< 1e-04
      I:ARFIMA係指分數差分係數
      II:ALPHAi(i不包含0)、BETAi為變異數方程式的係數,其中ALPHA為誤差項係數、BETA為變異數項係數 按此看說明
    • 模式配適訊息:
      AICI -7.3425
      BICII -7.3241
      Shibata -7.3426
      HQIII -7.3358
      Log likelihood 7896.5533
      I:Akaike Information Criterion
      II:Bayesian Tnformation Criterion
      III:Hannan-Quinn Criterion

  • 殘差分析:
    • 殘差時間數列圖:
    • 殘差常態機率分布(Q-Q)圖:
    • 殘差ACF圖:
    • 殘差PACF圖:
    • 殘差資料序列相關(serial correlation)檢定:
      標準化殘差:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]0.036730.8480
      Lag[p+q+1][2]0.585670.4441
      Lag[p+q+5][6]4.272600.5109
      I:Ljung-Box test with 1 d.f.

      標準化殘差平方:
      虛無假設:資料無序列相關
      階數
      order
      Q統計量I
      Q-statistic
      p-值
      p-value
      Lag[1]2.1520.14234
      Lag[p+q+1][3]3.7860.05167
      Lag[p+q+5][7]4.1910.52230
      I:Ljung-Box test with 2 d.f.

    • 殘差自我迴歸條件異質變異(ARCH)效應檢定:
      虛無假設:資料沒有ARCH效應
      階數
      order
      卡方檢定統計量
      Chi-squared statistic
      自由度
      d.f.
      p-值
      p-value
      Lag[2]3.86420.1449
      Lag[5]3.96550.5545
      Lag[10]5.318100.8690

  • 資料預測:
    • 預測值資料表:
      資料筆數真實值預測值絕對誤差百分比%I
      2150-0.01772e-04100.9618
      21510.01212e-0498.5197
      21520.02612e-0499.3109
      2153-0.00512e-04103.5626
      21540.00272e-0493.4276
      21550.00122e-0485.3547
      2156-0.00192e-04109.6563
      2157-0.0142e-04101.2851
      21580.00652e-0497.2119
      2159-0.00382e-04104.7823
      I:絕對誤差百分比 = |(真實值 - 預測值) / 真實值| * 100 %
    • 平均絕對誤差百分比%(MAPE):99.41%
    • 預測值與真實值比較圖(藍色虛線為預測值):
[重新分析]
影音教學內容為本系統資料處理與分析方法之操作說明,
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